Matemátricamente, Dios existe

“Las abejas ..., en virtud de una cierta intuición geométrica ..., saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material.”
Pappus de Alejandría
“Las leyes de la matemática no son meramente invenciones o creaciones humanas. Simplemente "son": existen independientemente del intelecto humano. Lo más que puede hacer un hombre de inteligencia aguda es descubrir que esas leyes están allí y llegar a conocerlas.”
Mauritis Cornelis Escher.
“El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos.”
Joseph Fourier
“No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real.”
Nikolay Lobachevsky
“El propio Dios geometriza”

Platón

La Divina Proporción, o número Phi, es un número irracional que podemos encontrar con frecuencia en la naturaleza, desde la arquitectura hasta las poblaciones, desde la astronomía hasta la fisiología. Y sirve, además, como uno de los miles de argumentos que se utilizan para valorar que el mundo es un caos ordenado; el Universo no puede ser un casual.

El número Phi le debe su nombre al griego Phidias. Él ya utilizaba esta proporción para que sus construcciones tuviesen esa perfecta armonía que toda construcción griega debía tener (los griegos, una vez sometidos por los romanos, se burlaban de éstos diciendo que ellos construían templos de mármol, etc... y sin embargo los romanos eran arquitectos de cloacas y alcantarillas. Ésa era la diferencia: los griegos eran los grandes arquitectos, y los romanos, los grandísimos ingenieros). No obstante, este número no estaba aún definido. Phidias aplicaba este factor adimensional en sus construcciones, pero no sabía por qué todo quedaba "así de bonito".Res matematica.

Fue el matemático Euclídes el que le dió una definición geométrica. Empleando para ello una recta de longitud x+1. Para los de letras: la proporción de la recta entera respecto al trozo que mide x debe ser igual a la proporción del trozo x respecto al trozo que vale 1. Para los matemáticos, basta con plantear una ecuación de segundo grado: x^2 - x - 1 = 0 (Sol.: (sqrt5 + 1)/2·i). Si resolvemos esta ecuación, obtenemos un número irracional, el famoso número Phi: 1.618.No obstante, este valor se podría aplicar haciendo uso de la famosa serie de Fibomaccim de la que hablaremos a continuación.

Fi y la armonía del universo

El número designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado número de oro, o número aureo. A diferencia de los otros dos no es un numero trascendental (en la denominación matemática) porque resulta como solución de una ecuación polinómica. Efectivamente, una de las soluciones de la ecuación de segundo grado x2-x-1=0 es que da como resultado el número de oro.
Pero esto no quita que sea un número muy especial, realmente trascendental en el sentido filosófico, que nos puede ayudar a convencernos de que el mundo de las matemáticas y todo nuestro universo no podría existir como tal sin intervención de algún tipo de inteligencia creadora. Veamos por qué:

Si tomamos un determinado segmento podemos dividirlo en dos segmentos (uno mayor y uno menor) de forma tal que la proporción entre el pequeño y el grande sea igual a la proporción entre el grande y el total. Esta manera de dividir un segmento se llama proporción áurica. El número de oro es siempre la proporción entre los dos segmentos resultantes de esta división. Es decir, si dividimos un segmento A, en dos segmentos A1 y A2 de la siguiente forma:

--------A1---------------A2-----
A

Tenemos que:
A1/A2 = A/ A1

Resulta que el valor de esta proporción, para cualquier segmento, es siempre el mismo:

A1/A2 = A/ A1 = φ =(1,618…)

El valor de puede o determinarse solo a partir del 1 como raiz continua:

O como fracción infinita :

Si dibujamos un pentágono regular, y trazamos sus diagonales formando una estrella armamos el clásico símbolo de los seguidores de Pitágoras. A pesar de que los pitagóricos solo conocían los números fraccionarios, tuvieron una intuición especial en la elección de su símbolo, ya que encierra en forma desconcertante al entonces inimaginable numero de oro.

Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro. Y también lo es la proporción entre la diagonal y el lado de la estrella.

Fibonacci estudiando la reproducción de los conejos llegó a una sucesión numérica que resultó más interesante de lo que se imaginaba.

Esta sucesión, que lleva su nombre, es así:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores

Empezamos a notar su belleza sumando, por ejemplo los cuatro primeros términos y añadiéndoles 1 ya que así obtendremos el sexto (1+1+2+3 + 1 = 8). Lo mismo ocurre al sumar los cinco primeros términos más 1, (consiguiendo el séptimo) y así sucesivamente. Como esta, hay muchísimas relaciones entre los términos de la sucesión, por ejemplo lo mismo sucede entre los impares, o entre los pares por separado. Por otro lado elevando al cuadrado dos términos sucesivos y sumándolos entre sí obtendremos el término correspondiente a la suma de sus órdenes. O si elevamos al cuadrado los n primeros términos y los sumamos, sale el producto del término n y el siguiente.

Pero lo impresionante de fibonacci apareció mucho después de su creación, con la aparición del concepto de límite. Si dividimos un término de la sucesión por el anterior obtenemos un número que cada vez se acerca más a fi:

1 : 1 = 1
2 : 1 = 2
3 : 2 = 1´5
5 : 3 = 1´66666666
8 : 5 = 1´6
13 : 8 = 1´625
21 :13 = 1´6153846....
34 :21 = 1´6190476....
55 :34 = 1´6176471....
89 :55 = 1´6181818....

Siendo fi en el infinito. Esto sí que no tenía por qué ser así. Pasamos ya a vislumbrar el misterio que fi tiene para enseñarnos. ¿Qué relación guardan los pentágonos regulares con los conejos?

Al parecer, comparten una armonía propia del universo que por supuesto, no creó el hombre, aunque empezó a apreciarla desde la antigüedad.

Sin saberlo concientemente, la búsqueda de la belleza llevó a los hombres a fi. Por ejemplo, son áuricas las proporciones en el Partenón griego, y, por otro lado, el cociente entre la altura de los triángulos que forman la pirámide de Keops y su lado es 2.fi.

Luego de su descubrimiento el hombre se esforzó por mantenerlo concientemente por doquier en el arte, la arquitectura, el diseño gráfico e industrial. Desde cosas tan triviales como el tamaño de las tarjetas de crédito y muchas de esas formas rectangulares con proporciones que ya vemos como “muy conocidas” ( pasaportes y documentos de identidad, libros, fotos, casettes de audio, marquillas de cigarrillos, hornos de microondas, etc) hasta en las más maravillosas obras de los pintores y escultores de todas las épocas. En el siglo XX el arquitecto Le Corbusier basó su sistema de proporciones humanas en el número áureo.
Hay varios cocientes que son el número áureo:
La altura de la persona (183) entre la altura a la que está el ombligo del suelo(113), La altura de la persona con el brazo levantado (226) entre la altura a la que está el brazo puesto en horizontal (140),
La altura a la que está el brazo puesto en horizontal (140) entre la altura a la que se encuentra el punto de apoyo de la mano (86).
Estas son las proporciones de base utilizadas más generalmente en dibujo y pintura.

Pero para despejar las dudas sobre el invento o descubrimiento de esta proporción, basta ver los innumerables casos que aparecen en la naturaleza: Fi nos da precisamente la curvatura de las espirales en caracoles, piñas, y algunas otras formas espiraladas de la naturaleza. Pero también está presente en los patrones de crecimiento de algunas plantas, la distribución de las hojas en un tallo, y las dimensiones de insectos y pájaros.

Si contamos en las semillas de un girasol, las escamas de una piña, un ananá o una palmera, la cantidad de espirales que las mismas forman en el sentido de las agujas del reloj, y la cantidad de espirales que forman en el sentido contrario, tendremos que ambos números serán términos de la sucesión de Fibonacci que ahora ya sabemos que, aunque con caras muy distintas, es hermana del número de oro.

Los pétalos de las flores. La mayoría de las flores suelen tener 3, 5 u 8 pétalos. ¿Os suena? A lo mejor si os digo que aquellas flores con grandes números de pétalos alcanzan 13, 21, 34, 89 (¡!). Sí, es la serie de Fibonacci. Fijaos en las margaritas, por ejemplo. El número de pétalos de las flores suele ser un número de la serie de Fibonacci. ¿Casualidad?En la flora hay bastantes ejemplos de ello: el número de piñas en un pino, el número de semillas de cabeza, en las fases de crecimiento de las plantas (tanto en giros como en alturas), en frutas y vegetales, etc.En la fisiología. Si observamos, todos tenemos, siguiendo el curso de la naturaleza, dos pies, dos manos, dos brazos, una cabeza, dos ojos, cinco dedos en cada mano, cada dedo de la mano está dividido en tres zonas. 1, 2, 3, 5, ¿os suena? ¡Es la serie de Fibonacci!

Hasta ahora, todo pareciera que puede ser un simple número, como cualquier Phi de la vida, o como algún e del Universo. Pero aquí viene lo sorprendente: la relación entre ese número y distintos ámbitos del Universo. Aquí reside la importancia y la magia del número Phi; la relación de la matemática con la naturaleza.En el Hombre de Vitrubio, Leonardo nos da las proporciones fisiológicas del cuerpo humano. Es una especie de hombre estandarizado a escala. Pues bien, si midiésemos las relaciones hombro-mano y hombro-codo, por ejemplo, ahí lo encontramos. En las piernas, en los dedos de las manos, en el torso; en todo el cuerpo en sí, somos un numero irracional.Los egipcios también utilizaron el Phi para el cálculo de la altura de sus pirámides y el perímetro de la sección recta. Dicho de otro modo que se entienda mejor: si partiéramos una pirámide por la mitad, y calculásemos la longitud de la recta exterior, obtendríamos el número Phi.

En la geometría y forma de objetos. En las caracolas de mar, en las conchas, en nuestra propia oreja, podemos observar que siguen una geometría en espiral que se ajusta a una combinación de la "Divina Serie". Si partimos de un cuadrado unidad, combinando podemos obtener rectángulos cuyos lados siempre son un número de la serie. Si usamos estas intersecciones podemos dibujar curvas en espiral, las que anteriormente comentaba. Pero esto se puede aplicar hasta en la disposición de planetas del sistema solar.En poblaciones de conejos, vacas, abejas, etc...

Invito al lector a comprobar por sí mismo esta sorprendente propiedad de la naturaleza contando -por ejemplo en una piña- las espirales que forma en cada uno de los dos sentidos. Es una tarea simple y a la vez reveladora.

Bibliografía: MARIANA VERNIERI "Dios en las matemáticas"